偏相関係数の導出

概要

の3変数を考える。目的変数を、説明変数をとし、背後にがあると想定する。ここではの影響を取り除いたとの相関係数、すなわち偏相関係数を導出することを目的とする。

導出

まず、での回帰を考える。へ回帰するものとすると、係数は次のとおりである。

ここに、は平均値である。この回帰式から求められるの推定値をとすると残差は、

である。同様にでの回帰を考え、へ回帰するものとすると、残差は、

である。の影響を取り除いたとの相関係数は上記の残差との相関係数を取ればよい。
定義式より変形して整理すると、

残差、の平均は0であるので、

となり、、およびを求めればよい。

の計算

およびの計算

偏相関係数の導出