偏相関係数の導出

概要

x,y,zの3変数を考える。目的変数をy、説明変数をxとし、背後にzがあると想定する。ここではzの影響を取り除いたxy相関係数、すなわち偏相関係数r_{xy,z}を導出することを目的とする。

導出

まず、x,zでの回帰を考える。x=az+bへ回帰するものとすると、係数a,bは次のとおりである。

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ここに、\bar{x},\bar{z}は平均値である。この回帰式から求められるxの推定値を\hat{x}とすると残差x^{\prime}は、

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である。同様にy,zでの回帰を考え、y=az+bへ回帰するものとすると、残差y^{\prime}は、

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である。zの影響を取り除いたxy相関係数r_{xy,z}は上記の残差x^\primey^\prime相関係数を取ればよい。
定義式より変形して整理すると、

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残差X^\primeY^\primeの平均は0であるので、

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となり、E[X^\prime Y^\prime]E[X^{\prime 2}]およびE[Y^{\prime 2}]を求めればよい。

E[X^\prime Y^\prime]の計算

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E[X^{\prime 2}]およびE[Y^{\prime 2}]の計算

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相関係数の導出

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