対数正規分布

密度関数

f:id:nishiru3:20180622122232p:plain

モーメント母関数

対数正規分布のモーメント母関数は存在しない。

期待値

f:id:nishiru3:20180622122428p:plain

分散

f:id:nishiru3:20180622122629p:plain

その他

正規分布については下記の記事参照。
nishiru3.hatenablog.com

参考文献

統計学入門 (基礎統計学?)

統計学入門 (基礎統計学?)

正規分布(その1)

正規分布は導出等がいくつもあるので、その1としておく。気が向いたらその2、その3を書く。

モーメント母関数

f:id:nishiru3:20180621212844p:plain

期待値

f:id:nishiru3:20180621213001p:plain

f:id:nishiru3:20180621213058p:plain

分散

f:id:nishiru3:20180621213159p:plain


f:id:nishiru3:20180621213240p:plain

参考文献

統計学のための数学入門30講 (科学のことばとしての数学)

統計学のための数学入門30講 (科学のことばとしての数学)

超幾何分布

確率関数

f:id:nishiru3:20180620125105p:plain

モーメント母関数

モーメント母関数は存在するが、計算が面倒らしいので省略。

期待値

f:id:nishiru3:20180620125232p:plain

分散

f:id:nishiru3:20180620125355p:plain

その他

そのうち記載。。。

ggplot2のメモ1

折れ線グラフの例

Rのggplot2は使うことは多いものの、すぐ忘れてしまうので事例を載せておく。毎回調べるのも面倒なので。。。
二項分布とポアソン分布のグラフの例を示す。

library(ggplot2)
# 二項分布
x <- 1:100
fx <- dbinom(x,100,0.5)
data <-data.frame(x=x,fx=fx)
ggplot(data, aes(x=x,y=fx)) + geom_line()

f:id:nishiru3:20180619233419p:plain

library(ggplot2)
# ポアソン分布
x <- 1:100
fx <- dpois(x=x, lambda=10)
data <-data.frame(x=x,y=fx)
ggplot(data, aes(x=x,y=fx)) + geom_line()

f:id:nishiru3:20180619233612p:plain

参考文献

Rグラフィックスクックブック ―ggplot2によるグラフ作成のレシピ集

Rグラフィックスクックブック ―ggplot2によるグラフ作成のレシピ集

ポアソン分布

確率関数

f:id:nishiru3:20180619222945p:plain

モーメント母関数

f:id:nishiru3:20180619223250p:plain

期待値

f:id:nishiru3:20180619223705p:plain

分散

f:id:nishiru3:20180619223900p:plain

その他

f:id:nishiru3:20180619224007p:plain
f:id:nishiru3:20180619224047p:plain

参考文献

数理統計学 (数学シリーズ)

数理統計学 (数学シリーズ)

数理統計学―基礎から学ぶデータ解析

数理統計学―基礎から学ぶデータ解析

負の二項分布(パスカル分布)

確率関数

確率pで成功する試行に対して、k回成功するまでにx回の試行が必要となる確率を考える。
確率関数は次のとおりである。

f:id:nishiru3:20180618131032p:plain

なお、x=1,2,・・・である。

モーメント母関数

f:id:nishiru3:20180618131330p:plain

期待値

f:id:nishiru3:20180618131446p:plain

f:id:nishiru3:20180618131606p:plain

分散

f:id:nishiru3:20180618131723p:plain

f:id:nishiru3:20180618131816p:plain

その他

f:id:nishiru3:20180618131915p:plain

f:id:nishiru3:20180618132009p:plain


幾何分布については次の記事に書いてます。

nishiru3.hatenablog.com

参考文献

数理統計学 (数学シリーズ)

数理統計学 (数学シリーズ)

数理統計学―基礎から学ぶデータ解析

数理統計学―基礎から学ぶデータ解析

幾何分布

確率関数

幾何分布は、最初に成功するまでの確率である。例えば、コインの表が出る確率をpとすると
確率関数は次のとおりである。以下の導出には等比級数の無限和が必要となる。
f(x) = p(1-p)^x
ここで、x=0,1,2,.....である。ただし、xは失敗した回数である。別の流儀だと、x回目に成功するという表現の場合もあるので注意。

モーメント母関数

幾何分布のモーメント母関数は次のとおりである。

f:id:nishiru3:20180612223247p:plain

期待値

f:id:nishiru3:20180612223526p:plain

分散

上記の等比数列をもう一度微分し、整理した上で、E[X(X-1)]を求めておく。

f:id:nishiru3:20180612224841p:plain

分散を求めると、
f:id:nishiru3:20180612225020p:plain

その他

等比数列の和

計算にあたり、等比数列の和を使っている。

f:id:nishiru3:20180612225328p:plain

モーメント母関数による期待値と分散の導出

モーメント母関数から期待値を求める。モーメント母関数はM(t) = p\{1-e^t(1-p)\}^{-1}であるので、
f:id:nishiru3:20180612225718p:plain

続いてモーメント母関数から分散を求める。

f:id:nishiru3:20180612225837p:plain

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参考文献

数理統計学 (数学シリーズ)

数理統計学 (数学シリーズ)

数理統計学―基礎から学ぶデータ解析

数理統計学―基礎から学ぶデータ解析