ガンマ関数の整理

1. \Gamma(x+1) = x \Gamma(x)

\Gamma(x+1) = \int_0^\infty t^{(x+1)-1} e^{-t} dt
= \int_0^\infty t^{x} e^{-t} dt

部分積分によって整理する。

= \int_0^{\infty} t^{x} \left(- e^{-t}\right)^{\prime} dt
=\left[-t^x e^{-t}\right]_0^{\infty} + x\int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt
=x\int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt = x \Gamma(x)

2. \Gamma(1) = 1

x=1として計算する。
\Gamma(1) = \int_0^{\infty} t^0 e^{-t} dt
=-[e^{-t}]_0^{\infty} = -[0-1]=1

3. \Gamma(n) = (n-1)! (nは自然数)

1.の性質を使って整理する。
\Gamma(n) = (n-1) \Gamma(n-1) = (n-1)(n-2) \Gamma(n-2)
=(n-1)(n-2) \cdots 1\Gamma(1) = (n-1)!

4. \Gamma(1/2) = \sqrt(\pi)

置換積分ガウス積分を使う。

t=y^2と置換すると積分区間t:0 \sim \infty y:0 \sim \inftyであり、dt = 2y dyであるので、
\int_0^{\infty} y^{-1} e^{-y^2} 2y dy=2 \int_0^{\infty} e^{-y^2} dy
積分はちょうとガウス積分の半分であるので、
=2 \dfrac{1}{2} \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi}

参考文献

統計学のための数学入門30講 (科学のことばとしての数学)

統計学のための数学入門30講 (科学のことばとしての数学)

再生性(ポアソン分布)

ポアソン分布の再生性

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ポアソン分布について

ポアソン分布については次の記事を参照。

nishiru3.hatenablog.com

参考文献

数理統計学 (数学シリーズ)

数理統計学 (数学シリーズ)

Doxygenコメント例(PHP)

プログラムのメモ

  • 個人的には良いコードはそれだけで理解できるものだと思っているが、そんな会心なコードをかけるわけでもない。
  • 自分ひとりで書いてても忘れていることもあるので、可能であればメモは残しておいたほうが良い。

Doxygen

  • Javadocは業務で使ったことはあるが、その他の言語でも使えるとなるとDoxygenかなと。
  • インストールは特に難しくなかった(Windows 10)。

事例

  • 覚えることは大してないが、少しだけ事例を残しておく。
<?php
/**
 * @brief 足し算結果を返す
 * @details 詳細について記載
 * @param a 第一項
 * @param b 第二項
 * @return 足し算結果
 */
function add($a,$b) {
    return $a + $b;
}
$x = 1;
$y = 2;
echo add($x,$y);
/**
 * @brief Doxygen用クラス
 */
class Sample {

    /**
     * @fn minus($a,$b)
     * @param a 第一項
     * @param b 第二項
     * @return 引き算結果
     */
    function minus($a,$b) {
        return $a - $b;
    }
}

リダイレクトでPOSTの確認

入力値の確認

POST値の確認を別ページにせずに現在のページで処理する方法である。

ソース

入力および確認のページのソースは次のとおりである。

<?php
/**
 * POST値が記入されていない場合、このページに戻る。
 */
session_start();
if(!empty($_POST)){
    if($_POST['name'] == '') {
        $error['name']='blank';
    }
    // エラーがない場合、sessionに変数を保存して、
    // headerで次のページに飛ばす。
    if(empty($error)) {
        $_SESSION['join'] = $_POST;
        header('Location: check.php');
        exit();
    }
}
?>
<form action="" method="post" enctype="multipart/form-data">
    名前:<br />
    <input type="text" name="name" size="50" />
    <?php if($error['name']=='blank'): ?>
    <br />名前を記入してください。<br />
    <?php endif; ?>
    <input type="submit" value="送信" />
</form>

入力値を確認してOKだった場合のページの遷移先は次の「check.php」である。

<?php
session_start();
echo '無事記入されています。';
$name = $_SESSION['join']['name'];
echo '名前:'.$name;

再生性(二項分布)

二項分布の再生性

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二項分布のモーメント母関数

二項分布のモーメント母関数は次の記事を参照。
nishiru3.hatenablog.com

参考文献

数理統計学 (数学シリーズ)

数理統計学 (数学シリーズ)

指数型分布族

一般的な形

指数型分布族の一般的な形を次のとおりとする。
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ここで、\thetaは自然パラメータ、\psiは分散に関するパラメータである。

この確率関数もしくは密度関数をこの形にできるものは、統一的な取り扱いができるため、便利である。また指数型分布族は十分性の議論でも出てくる。

期待値

指数型分布族の期待値を求める。

f:id:nishiru3:20180721110741p:plain

f:id:nishiru3:20180721110933p:plain

分散

f:id:nishiru3:20180721111107p:plain

f:id:nishiru3:20180721111453p:plain

事例

正規分布を指数型分布族への変形は次の記事を参照。

nishiru3.hatenablog.com

参考文献

以下の参考文献では、
f:id:nishiru3:20180721110438p:plain
の式を対象として期待値と分散を導出しているが、本稿での式の形であっても導出は難しくない。

一般化線形モデル入門 原著第2版

一般化線形モデル入門 原著第2版

max,minの分布

maxの分布

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minの分布

f:id:nishiru3:20180716122503p:plain

参考文献

明解演習 数理統計 (明解演習シリーズ)

明解演習 数理統計 (明解演習シリーズ)

確率と統計 (現代基礎数学)

確率と統計 (現代基礎数学)