ワイブル分布の期待値と分散

密度関数
n次のモーメント
期待値
分散
参考文献

密度関数

ワイブル分布の密度関数は次のとおりである。
$f(x) = \dfrac{p}{\theta}\left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{p-1}\exp\left\{-\left(\dfrac{x}{\theta}\right)^p\right\}$

n次のモーメント

期待値や分散を求める前に、 $n$ 次モーメントを求めておく。定義式に従い、
$\int_0^{\infty}x^n \dfrac{p}{\theta}\left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{p-1}\exp\left\{-\left(\dfrac{x}{\theta}\right)^p\right\}dx$

ここで変数の置換を行う。
$t = \left(\dfrac{x}{\theta}\right)^p$
$x = \theta t^{1/p}$
$dt = \dfrac{p}{\theta}\left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{p-1}dx$
$dx= \left(\dfrac{p}{\theta}\right)^{-1}\left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{1-p}dt$

積分範囲は変わらないため、まず $dt$ を置換すると、
$= \int_0^{\infty} x^n \left(\dfrac{x}{\theta}\right) \left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{p-1} e^{-t} \left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{-1} \left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{1-p}dt$
$=\int_0^{\infty} x^n e^{-t} dt$
$=\int_0^{\infty} \theta^n t^{n/p} e^{-t} dt$
$=\theta^n \int_0^{\infty} t^{n/p+1-1} e^{-t}dt$
$=\theta^n \Gamma\left(\dfrac{n}{p}+1\right)$