ガンマ関数の整理

1. \Gamma(x+1) = x \Gamma(x)

\Gamma(x+1) = \int_0^\infty t^{(x+1)-1} e^{-t} dt
= \int_0^\infty t^{x} e^{-t} dt

部分積分によって整理する。

= \int_0^{\infty} t^{x} \left(- e^{-t}\right)^{\prime} dt
=\left[-t^x e^{-t}\right]_0^{\infty} + x\int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt
=x\int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt = x \Gamma(x)

2. \Gamma(1) = 1

x=1として計算する。
\Gamma(1) = \int_0^{\infty} t^0 e^{-t} dt
=-[e^{-t}]_0^{\infty} = -[0-1]=1

3. \Gamma(n) = (n-1)! (nは自然数)

1.の性質を使って整理する。
\Gamma(n) = (n-1) \Gamma(n-1) = (n-1)(n-2) \Gamma(n-2)
=(n-1)(n-2) \cdots 1\Gamma(1) = (n-1)!

4. \Gamma(1/2) = \sqrt(\pi)

置換積分ガウス積分を使う。

t=y^2と置換すると積分区間t:0 \sim \infty y:0 \sim \inftyであり、dt = 2y dyであるので、
\int_0^{\infty} y^{-1} e^{-y^2} 2y dy=2 \int_0^{\infty} e^{-y^2} dy
積分はちょうとガウス積分の半分であるので、
=2 \dfrac{1}{2} \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi}

参考文献

統計学のための数学入門30講 (科学のことばとしての数学)

統計学のための数学入門30講 (科学のことばとしての数学)