指数型分布族

一般的な形

指数型分布族の一般的な形を次のとおりとする。
f:id:nishiru3:20180721111316p:plain

ここで、\thetaは自然パラメータ、\psiは分散に関するパラメータである。

この確率関数もしくは密度関数をこの形にできるものは、統一的な取り扱いができるため、便利である。また指数型分布族は十分性の議論でも出てくる。

期待値

指数型分布族の期待値を求める。

f:id:nishiru3:20180721110741p:plain

f:id:nishiru3:20180721110933p:plain

分散

f:id:nishiru3:20180721111107p:plain

f:id:nishiru3:20180721111453p:plain

事例

正規分布を指数型分布族への変形は次の記事を参照。

nishiru3.hatenablog.com

参考文献

以下の参考文献では、
f:id:nishiru3:20180721110438p:plain
の式を対象として期待値と分散を導出しているが、本稿での式の形であっても導出は難しくない。

一般化線形モデル入門 原著第2版

一般化線形モデル入門 原著第2版