ワイブル分布の期待値と分散

密度関数

ワイブル分布の密度関数は次のとおりである。
f(x) = \dfrac{p}{\theta}\left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{p-1}\exp\left\{-\left(\dfrac{x}{\theta}\right)^p\right\}

n次のモーメント

期待値や分散を求める前に、n次モーメントを求めておく。定義式に従い、
\int_0^{\infty}x^n \dfrac{p}{\theta}\left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{p-1}\exp\left\{-\left(\dfrac{x}{\theta}\right)^p\right\}dx

ここで変数の置換を行う。
t = \left(\dfrac{x}{\theta}\right)^p
x = \theta t^{1/p}
dt = \dfrac{p}{\theta}\left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{p-1}dx
dx= \left(\dfrac{p}{\theta}\right)^{-1}\left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{1-p}dt

積分範囲は変わらないため、まずdtを置換すると、
 = \int_0^{\infty} x^n \left(\dfrac{x}{\theta}\right) \left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{p-1} e^{-t} \left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{-1} \left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{1-p}dt
=\int_0^{\infty} x^n e^{-t} dt
=\int_0^{\infty} \theta^n t^{n/p} e^{-t} dt
=\theta^n \int_0^{\infty} t^{n/p+1-1} e^{-t}dt
=\theta^n \Gamma\left(\dfrac{n}{p}+1\right)

期待値

期待値は、n次モーメントのn=1の時であるので、
E[X]=\theta^1 \Gamma\left(\dfrac{1}{p}+1\right) = \theta \Gamma\left(\dfrac{1}{p}+1\right)

分散

分散は
V(X)=E(X^2)-{ E(X)}^2
により求める。

V(X) = \theta^2 \Gamma\left(\dfrac{2}{p}+1\right) - \theta^2 \Gamma^2\left(\dfrac{1}{p}+1\right)

参考文献

明解演習 数理統計 (明解演習シリーズ)

明解演習 数理統計 (明解演習シリーズ)