幾何分布

確率関数

幾何分布は、最初に成功するまでの確率である。例えば、コインの表が出る確率をpとすると
確率関数は次のとおりである。以下の導出には等比級数の無限和が必要となる。
f(x) = p(1-p)^x
ここで、x=0,1,2,.....である。ただし、xは失敗した回数である。別の流儀だと、x回目に成功するという表現の場合もあるので注意。

モーメント母関数

幾何分布のモーメント母関数は次のとおりである。

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期待値

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分散

上記の等比数列をもう一度微分し、整理した上で、E[X(X-1)]を求めておく。

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分散を求めると、
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その他

等比数列の和

計算にあたり、等比数列の和を使っている。

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モーメント母関数による期待値と分散の導出

モーメント母関数から期待値を求める。モーメント母関数はM(t) = p\{1-e^t(1-p)\}^{-1}であるので、
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続いてモーメント母関数から分散を求める。

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参考文献

数理統計学 (数学シリーズ)

数理統計学 (数学シリーズ)

数理統計学―基礎から学ぶデータ解析

数理統計学―基礎から学ぶデータ解析